TRIGONOMETRÍA.

Ángulo. Porción de plano comprendida entre dos rectas que se cruzan

.

Medida de ángulos.

Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP,  donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:

Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:   

Ángulos notables.

         sen 30º = y/r= (r/2) / r = 1/2

         cos 30º = x/r= 3½ / 2

                    r2=x2+(r/2)2=x2+r2/4        x=(3r2/4)½=r3½/2

         tg 30 º=(1/2)/(3½/2)= 3½ / 3

        sen 60º= y/r= (r 3½ / 2)/r= 3½ / 2

            r2 = y2 + ( r/2)2

            y = ( r2-r2/4)½ = ( 3 r2 / 4 )½ = r 3½ / 2

         cos 60º= (r/2)/r = 1 / 2

                                           tg 60º = (3½ / 2)/(1/2) = 3½

        sen 45º = y/r = 2½ / 2

            r2 = x2 + y2 = 2 y2

            y=(r2/2)½=r(2½)/2

        cos 45º= x/r = y = 2½ / 2

                                           tg 45º = sen 45º / cos 45º = 1

Relaciones entre las razones trigonométricas.

   1.- Teorema fundamental.

        sen a = y / r   de donde  y = r sen a

        cos a = x / r   de donde x = r cos a

como según Pitágoras: x2+y2=r2  tenemos que r2cos2a + r2sen2a=r2

es decir:  cos2a + sen2a = 1   

   2.- Dividiendo el teorema fundamental entre sen2:

            1 + cos2a  / sen2a = 1/ sen2a

            1 + cotg2a = cosec2a

   3.- Dividiendo el teorema fundamental entre cos2:

            tg2a+1= 1 / cos2a

            1 + tg2a = sec2a

Relaciones entre las razones trrigonométricas de algunos ángulos.

   1. ángulos suplementarios. Teniendo en cuenta la definición de cada razón trigonométrica, se deduce:

   sen a = sen b        cos a = - cos b        tg a = - tg b

 

   2. ángulos complementarios.

    Observamos que y'=x  y que x'=y

    sen b = sen (90-a) = y'/r =  x/r = cos a

   cos b = cos (90-a) = x'/r = y / r = sen  a

                                           tg b = cotg a

   3. ángulos que difieren en 180º

    sen b = sen (180+a) = -  sen  a

    cos b = cos (180+a) = - cos a

   tg b = sen b / cos b = sen  a / - cos a = tg a

 

   4.- ángulos opuestos.

    sen b = y´/r = - y/r = -sen a

   cos b = x´/r = x/r = - y/r = cos a

    tg b = sen b / cos b = -  sen  a /  cos a = - tg a

 

Representación de las razones trigonométricas sobre la circunferencia goniométrica.

Se denomina circunferencia goniométrica a la que tiene de radio la unidad.

En esta circunferencia:    sen a = y / r =  y

                                     cos a = x / r = x 

                                      tg a = y / x = y' / x' = y'       ya que x'=1

                                       cotg a = x / y = x' / y' = x'       ya que y'=1

                                       sec a = 1/cos a = 1/(x/r)= r / x = r' / x' = r'  ya que x'=1

                                        cosec a = 1/sen a = 1/(y/r)= r / y = r' / y' = r'  ya que y'=1

 

TEOREMAS DE ADICIÓN

1.- ADICIÓN DE ÁNGULOS. Suponemos circunferencia goniométrica (R=1)

a) Coseno de la suma.

     cos(a+b)=OC/OB=OC=OD-CD=OD-BE=OAcosa-ABsena=

        =OBcosbcosa-OBsenbsena=cosacosb-senasenb

 

 

b) Coseno de la diferencia. En la expresión del coseno de la suma sustituímos b por -b

   cos(a-b)=cos[a+(-b)]=cosacos(-b)-senasen(-b)=cosacosb-sena(-senb)=cosacosb+senasenb

c) Seno de la suma.

sen(a+b)=-cos[a+(b+90)]=-[cosacos(b+90)-senasen(b+90)]=-[cosa(-senb)-senacosb]=

=senacosb+cosasenb

d) Seno de la diferencia.

sen(a-b)=senacos(-b)+cosasen(-b)=senacosb-cosasenb

e) Tangente de la suma.

tg(a+b)=sen(a+b)/cos(a+b)=(senacosb+cosasenb)/(cosacosb-senasenb)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)

f) Tangente de la diferencia.

tg(a-b)=sen(a-b)/cos(a-b)=(senacosb-cosasenb)/(cosacosb+senasenb)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)

g) Coseno del ángulo doble. Hacemos b=a en la expresión del coseno de la suma

cos(a+b)=cosacosb-senasenb=cos2a-sen2a        Es decir: cos(2a)=cos2a-sen2

h) Seno del ángulo doble. Hacemos b=a en la expresión del coseno de la suma

sen(a+b)=senacosb+cosasenb=senacosa+cosasena=2senacosa     Luego: sen(2a)=2senacosa

i) Tangente del ángulo doble.

tg(a+b)=(tga+tga)/(1-tgatga)=2tga/(1-tg2a)

j) y k) Coseno y seno del ángulo mitad.

cos(2a)=cos2a-sen2a    Si hacemos a=a/2 tenemos: cosa=cos2(a/2)-sen2(a/2)

y como según Pitágoras:                                                      1=cos2(a/2)+sen2(a/2)

sumando ambas expresiones: 1+cosa=2cos2(a/2)    de donde: cos(a/2)=[(1+cosa)/2]½

restándolas:                         1-cosa=2sen2(a/2)      de donde: sen(a/2)=[(1-cosa)/2]½

l) Tangente del ángulo mitad.

tg(a/2)=sen(a/2)/cos(a/2)=[(1-cosa)/2]½ / [(1+cosa)/2]½=[(1-cosa)/(1+cosa)]½

 

2.- ADICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

  m) Suma de cosenos.

cos(p+q)=cos p · cos q-sen p·sen q

cos(p-q)=cos p·cos q+sen p·sen q    Sumando: cos(p+q)+cos(p-q)=2·cos p·cos q

Si llamamos: p+q=A  y  p-q=B  tenemos que: p=A-q    A-2q=B   q=(A-B)/2

                                                                                                    p=A-(A-B)/2=(A+B)/2

sustituyendo:    cos A + cos B = 2·cos[(A + B) / 2] ·[cos (A-B) / 2]

n) Diferencia de cosenos:

cos(p+q)-cos(p-q) = -2·sen p· sen q

cos A - cos B = - 2·sen[ (A+B) /2 ]·sen[ (A-B) / 2]

ñ) Suma de senos.

sen(p+q)=sen p·cos q+cos p·sen q

sen(p-q)=sen p·cos q-cos p·sen q

sen(p+q)+sen(p-q)=2·sen p·cos q

sen A + sen B = 2·sen[ (A+B) / 2]·cos [(A-B) / 2]

o) Diferencia de senos.

sen(p+q)-sen(p-q)=2·cos p·sen q

sen A - sen B = 2·cos[(A+B) / 2]·sen[ (A- B) / 2]