Estudio del Punto de Enfoque Óptimo y la regla de los 2/3

Carlos Blanco



RESUMEN
Analiza la veracidad de la regla de los 2/3, que suele aplicarse cuando queremos obtener la máxima profundidad de campo entre dos puntos. Propone como alternativa la búsqueda del punto óptimo de enfoque que corresponde al lugar en el que las imágenes de los elementos cercanos y lejanos de la escena que deseamos obtener con nitidez no superan el tamaño del círculo de confusión. A partir de aquí encuentra  la fórmula que responde a su pregunta mediante un desarrollo matemático elegante.

PALABRAS CLAVE
Punto de enfoque óptimo, enfocar, nitidez, profundidad de campo, diafragma, punto nodal, punto imagen óptimo, círculo de confusión.


Punto de Enfoque Óptimo. Regla de los 2/3.

Introducción:

Supongamos que deseamos realizar una fotografía de una escena en la cual existen elementos a distintas  distancias de la cámara.

Si parte, o todos estos elementos queremos obtenerlos con nitidez visual (a foco), tendremos que enfocar a un punto situado entre los dos puntos extremos que deseamos queden nítidos.

El punto más adecuado donde tenemos que enfocar no es el punto medio. La profundidad de campo no es simétrica respecto al punto de enfoque. Es mayor la profundidad de campo posterior (la que está pasado el punto de enfoque) que la anterior (la anterior al punto de enfoque).

Esto es un pequeño inconveniente, pero aún la cosa es peor,  pues la proporción de estas dos profundidades de campo no es constante. Varía en función de la relación de distancias entre ambos puntos respecto a la distancia del primer punto a la cámara.

Índice del artículo:

Parte 1: ¿Qué entendemos por punto de enfoque óptimo?.

En este apartado explicamos el concepto, las ventajas y los inconvenientes de enfocar a este punto.

Parte 2: Veremos el criterio para encontrar el punto óptimo de enfoque.

Parte 3: En este apartado haremos los cálculos matemáticos para poder determinar el punto. Obtendremos las fórmulas correspondientes.

Parte 4: Veremos la relación de la regla de los 2/3 con las fórmulas obtenidas.

Parte 5: Se verán casos particulares, con aplicaciones numéricas. Se hará una tabla de valores.


Parte 1: ¿Qué entendemos por punto de enfoque óptimo?

El punto óptimo de enfoque presenta la siguiente propiedad: Al enfocar a dicho punto obtendremos los dos puntos extremos dados, a foco CON EL MENOR número f.

En la figura 1 representamos dos tipos de situación. (Figura1.a y 1.b).

Deseamos obtener nitidez entre los puntos extremos P1 (situado a la distancia S1) y P2 (situado a la distancia S2).

Caso a:

Si enfocamos a un punto cualquiera la profundidad de campo anterior y la profundidad de campo posterior, NO alcanzará (al ir aumentando el número f) a los puntos extremos P1 y P2 al mismo "tiempo" (es decir, para el mismo número f). Tendremos un punto nítido antes que el otro. Esto presenta dos problemas:

1)      Tener que diafragmar más de lo necesario para alcanzar la nitidez en los dos puntos (NO siempre se puede).

2)      Tener en uno de los puntos una zona de nitidez inútil, (Profundidad de campo no útil). O incluso, dependiendo del caso, algo peor, como es una zona nítida no deseada. (Lo vemos en la figura 1.a)


 


Figura 1.a.

Consideremos que enfocamos al punto medio, entre los dos puntos que deseamos obtener nítidos (P1 y P2). S1 es la distancia del objetivo al primer punto nítido. S2 es la distancia al segundo y último punto que deseamos nítido. Como la profundidad de campo posterior es mayor que la anterior, enfocando al punto medio, obtendremos la nitidez en el punto P2 con un número f  de 8 (por ejemplo) y con un número f de 11 obtendremos la nitidez en el punto P1. Tendremos una zona de profundidad de campo no útil.


Caso b:

Si enfocamos al punto de enfoque óptimo Popt (situado a una distancia del objetivo de la cámara Sopt), la nitidez alcanzará a los dos puntos P1 y P2 con el mismo número f. Toda la profundidad de campo será útil. (Lo vemos en la figura 1.b)


 

Figura 1.b.

Si enfocamos al Punto Óptimo de Enfoque Popt, tendremos nitidez en los puntos extremos P1 y P2, con el mismo número f, y toda la profundidad de campo será útil.

El Punto Óptimo de Enfoque puede no ser tan bueno.

Sería equivocado pensar, que enfocar a este punto sólo nos acarrearía ventajas, también (depende del caso) tenemos ciertos inconvenientes.

Conviene insistir en que: EL PUNTO ÓPTIMO DE ENFOQUE NO NOS GARANTIZA NITIDEZ EN LOS PUNTOS ELEGIDOS. Esto depende del número f que pongamos en la cámara.

Consideremos el caso, nada infrecuente, en que el número f máximo que podemos utilizar, nos da una profundidad de campo (o zona nítida) inferior a la que necesitamos para obtener nitidos los puntos P1 y P2.

Si enfocamos a Popt tendremos el primer punto (P1)  y el último (P2) borrosos. Si además, entre estos dos puntos no hay ningún objeto, toda la imagen quedará borrosa.

Resultado: Un desastre total.

1ª solución:

Si enfocamos a una distancia inferior a la distancia de enfoque óptimo, la primera parte de la imagen quedará nítida, aunque el último término quedará algo más borroso que con el enfoque óptimo anteriormente realizado.

2ª solución:

Si enfocamos a una distancia superior a la de enfoque óptimo, nos encontraremos en la otra situación. Último término nítido, primer término borroso.


Cualquiera de los dos resultados parecen, a priori, más interesantes que el obtenido al enfocar al punto óptimo.

Conclusión:

Si el número f máximo que disponemos no nos permite alcanzar la nitidez en los puntos extremos no se aconseja "utilizar" el Punto Óptimo de Enfoque.

Una vez aclarado, que enfocar al punto óptimo puede no ser tan interesante, pasemos a explicar el criterio para encontrarlo.


Parte 2: Criterio para encontrar el Punto Óptimo de Enfoque.

1ª Idea: "Para llegar a conocer el punto óptimo de enfoque, tenemos que conocer el punto óptimo donde colocar la película".

Lo vemos en la figura 2.


 

Figura 2.[1]

Sopt: Distancia óptima de enfoque; S´opt: Distancia imagen óptima; Popt: Punto óptimo de enfoque

P´opt: Punto imagen óptimo; C2: Círculo de Confusión para el punto P2 colocando la película en P´1;

C1: Circulo de Confusión, colocando la película en el punto P´2, del punto P1; Copt Círculo de Confusión iguales para los puntos P1 y P2. Se forma al colocar la película en P´opt.

Enfocando al punto Popt, tendremos su imagen (P´opt), a la distancia S´opt.

Si colocamos la película en el punto P´1 la imagen del punto P1 quedará totalmente nítida, pero la del punto P2, muy borrosa.

Lo mismo sucede pero en caso contrario si colocamos la película en el punto P´2. La imagen del punto P2 quedará nítida, pero la del punto P1, totalmente borrosa, con un enorme círculo de confusión.

Podríamos pensar que, en cualquier lugar que pongamos la película entre P´1 y P´2 favorecemos la nitidez de un punto respecto de otro.

Si vemos la figura 2, nos damos cuenta que esto no es cierto, pués existe un punto en el cual los dos círculos de confusión de los puntos objeto P1 y P2 son IGUALES.

2ª Idea: "El punto en el cual los dos círculos de confusión son iguales, al no favorecer a una imagen respecto a otra, será el punto adecuado para colocar la película".

Lo llamaremos Punto Imagen Óptimo.

Lo representaremos como P´opt.

La nitidez o no de los puntos extremos P1 y P2, dependerá del tamaño del diámetro de este círculo de confusión. Si es igual o menor al diámetro del máximo círculo  de confusión permisible (D.M.C.C.P), los puntos P1 y P2 estarán nítidos, si es mayor, nos quedarán borrosos.

Determinado este punto imagen, solamente nos quedará determinar la distancia a la que hay que enfocar (Sopt), para que la imagen del punto situado a dicha distancia (Popt), se situe en S´opt (Distancia imagen óptima).

Los valores Sopt y S´opt están relacionados con la distancia focal (F) por la fórmula de Gauss.

           


Parte 3

A) Cáculo de la distancia imagen óptima (S´opt)

Recordemos que a esta distancia tenemos que poner la película para que los dos círculos de confusión de los puntos P1 y P2 sean iguales.

La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿Qué criterio podemos emplear para poder determinar esta distancia?.

La contestación es muy simple. Si observamos la figura 3 veremos que la distancia S´opt será la componente X del punto de intersección de las rectas R y T.


 

Figura 3

Px: Punto de intersección de las rectas R yT. Consideramos que la abertura del diafragma es circular. Podíamos tomar las otras dos rectas: R´   y  T´. La componente Y del punto Px será la mitad del valor del círculo de confusión. Su componente X será S´opt.El estudio de las condiciones de nitidez, partiendo  de este valor 2Y = Círculo de Confusión sería muy interesante, pero nos apartaría del objeto de este artículo.

Para calcular las coordenadas del punto Px tendremos que calcular las ecuaciones de las rectas T y R.


Cálculo de la ecuación de la recta T:

Conocemos dos puntos de la recta T. El punto P (0,r) que llamamos punto 1 y el punto de intersección de T con el eje X: P´1(S´1, 0) que llamamos punto 2.

La ecuación vendrá dada por la relación:

De donde tendremos:

           Ecuación de la recta T

Cálculo de la ecuación de la recta R:

Operamos de forma similar con los puntos P´(0,-r) y P´2(S´2, 0). Nos quedará:

        Ecuación de la recta R

Cálculo del punto Px:

Tenemos que calcular el punto común de estas dos rectas. Se calcula igualando las dos ecuaciones.

                                      


 

Nos interesa despejar el valor de X, que como es igual a S´opt tendremos:

             Fórmula 1


Esta fórmula se puede poner de otra manera:

           Fórmula 1.a 

         Fórmula 1.b

Siendo:

S´opt - Distancia Imagen Óptima. Es la distancia respecto a la lente (P.N.P.), donde tenemos que poner la película.

S´1 - Distancia imagen del primer punto objeto.

S´2 - Distancia imagen del segundo punto objeto.

Veamos ahora la segunda parte.


Parte 3

B) Cálculo de la distancia óptima de enfoque

Conociendo la distancia donde tenemos que colocar la película, podremos determinar el punto donde tendremos que enfocar.

Aplicando la fórmula de Gauss, tendremos:

                        

Sustituimos estos valores en la fórmula 1.b

Operando nos queda una fórmula idéntica a la anterior:

             Fórmula 2

Siendo:

Sopt - Distancia de Enfoque Óptimo (desde el P.N.P. del objetivo).

S1 - Primer punto que deseamos a foco. [2]

S2 - Último punto que deseamos que salga a foco.

La profundidad de campo deseada será igual a S2 - S1.

Al final de la pregunta veremos algún cálculo numérico.


Caso particular:

Veamos el caso particular de que la profundidad de campo posterior llegue hasta infinito.

Tendremos por tanto  S2 = ¥

La fórmula 2 nos quedará:

Resolviendo la indeterminación  obtendremos la siguiente relación:

Conclusión

Si el último punto que deseamos obtener a foco está situado en el infinito, tenemos que enfocar al doble de la distancia del primer punto que deseamos obtener nítido.

Lo indicaré como:

      Fórmula 3

Otro método para calcular esta relación

Partimos de la fórmula 1.b, con la siguiente particularidad: Como S2 es infinito, la distancia del punto imagen S´2 es igual a la distancia focal. Tendré:

                                  

Sustituimos y tendré:

        

Simplificando nos quedará nuevamente:


Relación entre las fórmulas 2 y 3

La fórmula 2 nos dice  y la fórmula 3 dice . Estas dos fórmulas coinciden cuando  y esto sólo sucede cuando . Cosa que es imposible.

Si el valor S1 es muy pequeño comparado con S2 (S1<<S2) podemos despreciar el valor S1 respecto al de S2 y el cociente.

Si el valor S2 es muy grande, aunque S1 no sea muy pequeño, podemos también emplear la fórmula S¥ que es una forma abreviada de la fórmula Sopt.


Parte 4: La regla de los 2/3

Esta regla dice que el punto de enfoque óptimo está situado a 1/3 del primer punto (S1) y a 2/3 del último punto (S2).

La fórmula será, aplicando este criterio:

        Fórmula 4

Siendo:

S2/3 - Punto Óptimo de Enfoque, según el criterio de los 2/3.

S1 - Primer punto que deseamos salga  a foco.

S2 - Último punto que deseamos salga a foco.

Operando la fórmula 4, nos quedará:

        Fórmula 4.a

Nos preguntamos ahora ¿En qué condiciones el valor de Sopt coincide con el de S2/3?.

Condiciones de Relación entre Sopt y S2/3

A)     Caso particular

 

Igualamos, para encontrar dicha relación, las ecuaciones 2 con la 4.a.

Tendré:

de donde llego a otra relación:

     Fórmula 5

Esta relación se cumple en dos casos:

Caso 1: Si  S1 = S2.

Esta conclusión es evidente pero algo absurda pues no existe ninguna distancia entre ambos puntos al ser el mismo. 

Caso 2:  Si

Esto implica que

S2 = 2S1   Condición 6

Este caso es bastante frecuente.

Significa que la distancia del primer punto hasta la cámara es igual a la distancia entre los dos puntos.

Ejemplo:

Si deseamos una zona de nitidez de 1 metro (Distancia S2 -S1) y el primer punto también está situado a 1 metro de la cámara. En este caso S2 = 2S1 y la regla de los 2/3 es totalmente correcta. Su valor coincide con el dado por la fórmula del punto óptimo de enfoque. Pondremos: S2/3 = Sopt.

B)    Caso General:

Hemos visto dos casos, para los cuales las dos fórmulas coinciden. Estos casos vienen dados por una relación entre S1 y S2. En un caso general tendremos la siguiente relación.

                 Condición 6.

j - Cociente de relación de distancias

Siendo j el factor que relaciona ambas distancias. Si j = 1 ó  j = 2 conocemos que las fórmulas S2/3 y Sopt dan el mismo resultado.

¿Cómo relacionar estas fórmulas para otros valores de j?.

La mejor manera, es relacionarlos en función de la diferencia en pasos de diafragma que necesitamos para obtener la misma profundidad de campo útil con ambas fórmulas.

Pongamos un ejemplo para entender mejor este concepto.

Ejemplo:  Para obtener nitidez entre los puntos P1 y P2 necesitamos, empleando la fórmula 4.a.     (la fórmula de los 2/3), un número f de 16 (N = 16) y empleando la fórmula 2. (la fórmula Sopt) un número f de 11 (N = 11). La diferencia en pasos de diafragma (por ejemplo) de la fórmula 4.a. respecto a la fórmula 2. es de 1. Decimos:  La "ganancia" en pasos de diafragma de la fórmula Sopt respecto a la fórmula S2/3 es de 1 paso de diafragma (1 p.d.).

Valores de j:

Para calcular la ganancia en pasos de diafragma de una fórmula respecto de otra para los diferentes valores de j, dividimos estos posibles valores en dos grupos.

Grupo1: j > 2:

Este caso es el más frecuente. A medida que j aumenta las distancias entre S1 y S2 aumentan.

Ejemplo: Si j = 4 y S1 = 0'5 metros, el valor de S2 = 2 metros. Entre la cámara y el primer punto tendré una distancia de medio metro, y entre los dos puntos, o zona que deseamos nítida, metro y medio.

En este caso el punto donde enfocamos aplicando S2/3 está más alejado que el Sopt (S2/3 > Sopt). El último punto que queda nítido aplicando la fórmula S2/3 es P1.

Grupo 2: 1 < j < 2:

En este caso la distancia entre S1 y S2  es menor que la distancia entre S1 y la cámara. Con el ejemplo numérico anterior si j = 1'5 y S1 = 0'5 m, el valor de S2=0'75 m.

En este caso sucede al contrario, el valor S2/3 < Sopt, por tanto: Al emplear la fórmula S2/3 el último punto que obtendremos a foco será P2. Tendremos que emplear fórmulas diferentes para cada uno de los grupos.

Método operativo:

Sólo se explicará el método, pero no lo desarrollaré, al ser demasiado extenso y no aportar nuevos conceptos a la pregunta.

Para j > 2 partimos de la fórmula de la profundidad de campo que nos determina la distancia del objetivo al primer punto nítido. ( Si 1 < j < 2, la fórmula es la que nos determina la distancia al último punto nítido).

Particularizamos el valor del punto de enfoque de esta fórmula para Sopt y luego para S2/3. Tendremos dos fórmulas.

Despejamos de estas fórmulas el valor de N ( valor numérico del número f), obtendremos un Nopt y N2/3 para cada grupo de valores j.

Igualando estas fórmulas obtendremos un coeficiente de relación que nos dará la diferencia en la escala de los números f .

Este valor nos da la diferencia en valores de diafragma que pasaremos a diferencia en valores de paso de diafragma (Dn).

Para 1 < j < 2 las fórmulas serán diferentes pero el método idéntico. No se pueden calcular valores j = 1, o aproximados a 1. Existen problemas de indeterminación por este método.

Las fórmulas resultantes de este tremendo lío son las siguientes:

1)      Si j > 2

2)      Si 1 < j < 2

6'64- Sale del valor

Dn - "Ganancia" en pasos de diafragma.

j- Coeficiente de relación de las distancias extremas donde deseamos la nitidez

S1 - Distancia al primer punto que deseamos nítido

S2 - Distancia al último punto que deseamos nítido.

F - Distancia focal del objetivo

Mediante estas fórmulas obtendremos la tabla I.

Explicación de la tabla I.

En esta tabla están los tres factores que modifican la ganancia en pasos de diafragma de la fórmula Sopt respecto a la S2/3, (Dn).

Estos factores son tres:

1er Factor: j (Relación de distancias entre S1y S2)

Es el más importante de los tres.

Los resultados son diferentes si j > 2 que si j < 2.

- Si j > 2, al ir aumentando aumenta Dn.

Ejemplo: Vemos en la tabla que para j = 20, empleando un 25 mm y estando el primer punto nítido a 0'5m ( el último estará a 10m), la ganancia Dn pasa de 1 2/3 pasos de diafragma.

 

- Si j <2. Sucede lo contrario.

 Es lógico, al aumentar j, se aproxima al valor 2, cuya ganancia es 0.


2º Factor: Si (Distancia al primer punto que deseamos nítido)

Factor poco importante. Sucede lo mismo que el anterior. El resultado es diferente si j  > 2 que si j  < 2.

- Para j > 2. A medida que el punto que enfocamos está más lejos, la ganancia en pasos de diafragma aumenta.

Ejemplo: Si j = 20, con un 50 mm, enfocando a 10 cm, el valor Dn es de 1 paso de diafragma, a 1 metro es de 1 2/3 pasos de diafragma.

Esta diferencia sólo es notable para valores altos de j.

- Si j < 2. Lo contrario. La ganancia disminuye al alejarse el primer punto que deseamos a foco.

        

3er Factor: F (Distancia focal del objetivo)

Es el menos importante de los tres.

- Para j > 2 la ganancia disminuye al aumentar la distancia focal.

Ejemplo: (ver tabla I). Para j = 20 y Si = 100 m, con un 25 mm, la ganancia es de 1'7 pasos de diafragma y con un 100 mm es de 1'59 pasos de diafragma.

- Para j < 2 , como en todos los otros casos, sucede lo contrario.

Los resultados de la tabla I se pueden visualizar en la figura 4.

Conclusión:

El error máximo al emplear la fórmula S2/3 en lugar de la fórmula correcta se produce:

1)      Para valores grandes de j.

2)      Para objetos lejanos. Elevado valor de S1.

3)      Con objetivos de distancia focal corta.

>En estas conclusiones hemos considerado j > 2 que es el caso más frecuente.



 


Figura 4


Parte 5: Cálculos numéricos

Veamos algún ejemplo numérico:

Ejercicio 1: Deseamos realizar una foto. El primer punto que deseamos obtener a foco, está situado a 1 metro y el último a 3 metros.

¿A qué distancia tenemos que enfocar para obtener nítidos los dos puntos con el menor número f?

Solución:

Aplicamos la fórmula general con S1 = 1 m, S2 = 3m.

Esta sería la distancia correcta. Aplicando la regla de los 2/3 tendremos:

Entre las dos fórmulas, la diferencia de las distancias es de 16 cm.

La ganancia en pasos de diafragma es de 0'52 para un 25 mm, 0'51 para un 50 mm y 0'5 para un 100 mm. Es decir medio diafragma. Necesitamos cerrar más utilizando la fórmula de los 2/3 en vez de la fórmula correcta.


 

Ejercicio 2: Queremos fotografiar un paisaje. Deseamos nitidez desde el primer término (2 metros) hasta infinito. ¿Dónde tengo que enfocar?.

Solución:

Al estar situado el último término en infinito, aplico la fórmula S¥ = 2S1 y tendré, para el valor dado de S1 (S1 = 2m) que

Solución = 4 metros

Seguro que tiene la misma curiosidad que yo.

¿Qué número f necesitamos para obtener semejante profundidad de campo?.

Los cálculos nos indican que con una distancia focal  de 50mm y un diámetro máximo de círculo de confusión permisible de C = 0'03mm, tendríamos con un número f de 22.


Valores Sopt en función de diferentes valores S1 y S2

En la tabla II colocamos en dos ejes perpendiculares, valores de S1 (eje vertical) y S2 (eje horizontal). Los valores Sopt se determinan por el método clásico de encontrar el cuadro común de ambas rectas. Lo vemos en la tabla II.[3]

Tabla II

Todas las unidades están dadas en centímetros.


RESUMEN DE LOS CONCEPTOS MÁS IMPORTANTES

1)      El enfocar al punto óptimo de enfoque NO nos garantiza nitidez en la zona elegida; pues la nitidez depende del número f.

      Nos garantiza la nitidez con el menor número f.

2)      Si el número f elegido no nos da nitidez en la zona elegida, el enfocar al punto óptimo de enfoque puede presentar más inconvenientes que ventajas.

3)      El criterio para determinar el punto óptimo de enfoque se basa en colocar la película donde los círculos de confusión de los puntos extremos de la zona que deseamos nítida son iguales.

4)      La regla de los 2/3 es bastante práctica y precisa en multitud de ocasiones. En la mayoría de los casos podemos obtener nitidez en los puntos adecuados, "perdiendo" solamente medio diafragma (ver tabla I).

5)      Si el segundo objeto que deseamos nítido está muy alejado del primero, debemos enfocar al doble de la distancia a la que está el primer punto, que deseamos nítido, respecto de la cámara.



[1] NOTA: Los valores "prima" serán puntos o distancias imagen. Y los valores sin "prima", puntos o distancias objeto. El lugar de referencia para medir las distancias a la película o al objeto es el Punto Nodal Posterior del objetivo (P.N.P.), también llamado, Centro Óptico del objetivo.

[2] NOTA: De forma  no muy correcta se emplea la expresión: Primer punto, Punto de enfoque óptimo... etc, al referirnos a S1 ó  Sopt, cuando lo correcto es Distancia al primer punto ó Distancia al punto de enfoque óptimo.

[3] NOTA: Se puede utilizar el método empleado para relacionar S2/3 con Sopt con las fórmulas  S¥ , Sopt. Este estudio en profundidad se sale del contexto de la pregunta.

 

Carlos Blanco


Universo Fotográfico nº3

 


 

 




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